朗道力学笔记 III

范围：第六章刚体的运动

朗道力学笔记 III六、刚体的运动1. 刚体的运动方程1.1 动量方程1.2 角动量方程2. 惯量张量2.1 转动动能的惯量张量表示2.2 运动方程的惯量张量表示3. 欧拉角、欧拉方程4. 刚体的接触

六、刚体的运动

1. 刚体的运动方程

刚体有六个自由度，因而有六个运动方程。

1.1 动量方程

$\dot{\vec p}=m\dot{\vec v}=\vec f$ ，对刚体所有质点求和，得到：

\begin{matrix} (6.1) & \sum \dot{\vec{p}} = \sum \vec{f} \Rightarrow \vec{P} = μ \dot{\vec{V}} = \sum \vec{f} \end{matrix}

$\vec P=\sum \vec p$ $\mu=\sum m$ $\vec V={\sum m \vec v \over \sum m}$ 为刚体的质心速度。 $\vec f$ 是总力，包括内力和外力。

下面给出了计算总力和的方法，相当于说明总力和等于外力和。 $\vec f_i=-{\partial U \over \partial \vec\tau_i}$ $\vec \tau_i$ 为各个质点在固定坐标系下的矢径。

\sum \vec{f} = \sum - \frac{\partial U}{\partial {\vec{τ}}_{i}}

$\vec R$ $\delta\vec R$ $\delta U$ 。

\begin{aligned} δ U & = \sum \frac{\partial U}{\partial {\vec{τ}}_{i}} \cdot δ {\vec{τ}}_{i} \\ = δ \vec{R} \cdot \sum \frac{\partial U}{\partial {\vec{τ}}_{i}} \\ = - δ \vec{R} \cdot \sum \vec{f} \end{aligned}

$\vec R$ 均满足，得到

\begin{matrix} (6.2) & - \sum \vec{f} = \frac{\partial U}{\partial \vec{R}} \end{matrix}

结合式(6.1)(6.2)即得到刚体的动量方程。

1.2 角动量方程

$\vec \tau\times \dot{\vec p}=\vec \tau \times \vec f$ 。求和得到：

\sum \vec{τ} \times \dot{\vec{p}} = \sum \vec{τ} \times \vec{f}

$\dot{\vec \tau}\times \vec p=0$ （两者平行）

\begin{aligned} \dot{\vec{M}} & = \frac{d}{d t} \sum \vec{τ} \times \vec{p} \\ = \sum \dot{\vec{τ}} \times \vec{p} + \sum \vec{τ} \times \dot{\vec{p}} = \sum \vec{τ} \times \dot{\vec{p}} = \sum \vec{τ} \times \vec{f} \\ (6.3) & i . e . \dot{\vec{M}} = \sum \vec{τ} \times \vec{f} = \vec{K} \end{aligned}

$\vec \tau$ $\vec R+\vec r$ 表示

\begin{matrix} \vec{M} = \sum (\vec{R} + \vec{r}) \times \vec{p} = \vec{R} \times \vec{P} + \sum \vec{r} \times \vec{p} \\ \vec{K} = \sum (\vec{R} + \vec{r}) \times \vec{f} = \vec{R} \times \vec{F} + \sum \vec{r} \times \vec{f} \end{matrix}

改写方程(6.3)

\begin{aligned} \dot{\vec{R}} \times \vec{P} + \vec{R} \times \dot{\vec{P}} + \frac{d}{d t} \sum \vec{r} \times \vec{p} & = \vec{R} \times \vec{F} + \sum \vec{r} \times \vec{f} \\ (6.4) & \Rightarrow \frac{d}{d t} \sum \vec{r} \times \vec{p} & = \sum \vec{r} \times \vec{f} \end{aligned}

(6.4)说明刚体的转动可以在刚体质心系中研究。

同上，下面说明质心系内总力矩的算法，即总力矩=和外力距。逻辑上，在计算之前，还要说明两个问题。

刚体的所有固定质心的运动都可以看作是一次绕轴转动。这就是所谓的毛球定理。这可以用压缩映射原理去证明，通过四元数旋转函数也很好说明。
刚体的小角度转动是可以用一个角度矢量表征的。这是因为角度实在太小，矢径在转动过程中基本不变，有可加性。加的性质也与矢量加法相同。

$\delta \vec \varphi$ $\delta U$

\begin{aligned} δ U & = \sum \frac{\partial U}{\partial {\vec{τ}}_{i}} \cdot δ {\vec{τ}}_{i} \\ = \sum \frac{\partial U}{\partial {\vec{τ}}_{i}} \cdot (δ \vec{φ} \times {\vec{τ}}_{i}) \\ = \sum δ \vec{φ} \cdot ({\vec{τ}}_{i} \times \frac{\partial U}{\partial {\vec{τ}}_{i}}) \\ = - δ \vec{φ} \cdot \sum {\vec{τ}}_{i} \times {\vec{f}}_{i} \end{aligned}

同上，故有

\begin{matrix} (6.5) & \vec{K} = \sum {\vec{τ}}_{i} \times {\vec{f}}_{i} = - \frac{\partial U}{\partial \vec{φ}} \end{matrix}

结合式(6.3)(6.4)即得到刚体的动量方程。

2. 惯量张量

2.1 转动动能的惯量张量表示

刚体的总动能

\begin{matrix} (6.6) & T = \frac{1}{2} \sum m_{i} {\dot{\vec{τ}}}_{i}^{2} \end{matrix}

$\vec \tau=\vec R+\vec r$

\begin{aligned} T & = \frac{1}{2} \sum m_{i} (\dot{\vec{R}} + {\dot{\vec{r}}}_{i})^{2} \\ = \frac{1}{2} \sum m_{i} ({\dot{\vec{R}}}^{2} + \dot{\vec{R}} \cdot {\dot{\vec{r}}}_{i} + {\dot{\vec{r}}}_{i}^{2}) \\ (6.7) & = \frac{1}{2} μ {\dot{\vec{R}}}^{2} + \frac{1}{2} \sum m_{i} {\dot{\vec{r}}}_{i}^{2} \end{aligned}

于是刚体的动能被分为两部分，前者为平动动能转动动能 $T_{rot}$ 表示）。根据前面1.2中的两点数学理论，我们可以记

\vec{Ω} = \frac{d \vec{φ}}{d t}

得到

\begin{aligned} T_{r o t} & = \frac{1}{2} \sum m_{i} {\dot{\vec{r}}}_{i}^{2} \\ = \frac{1}{2} \sum m_{i} (\vec{Ω} \times {\vec{r}}_{i}) \cdot (\vec{Ω} \times {\vec{r}}_{i}) \\ = \frac{1}{2} \sum m_{i} {\vec{r}}_{i} \cdot ((\vec{Ω} \times {\vec{r}}_{i}) \times \vec{Ω}) \\ = \frac{1}{2} \sum m_{i} {\vec{r}}_{i} \cdot (- (\vec{Ω} \cdot {\vec{r}}_{i}) \vec{Ω} + ({\vec{Ω}}^{2}) {\vec{r}}_{i}) \\ = \frac{1}{2} \sum m_{i} ({\vec{Ω}}^{2} {\vec{r}}_{i}^{2} - (\vec{Ω} \cdot {\vec{r}}_{i})^{2}) \end{aligned}

$\vec \Omega =(\Omega_1,\Omega_2,\Omega_3), \vec r=(r_1,r_2,r_3)$ $i$

\begin{aligned} {\vec{Ω}}^{2} {\vec{r}}^{2} - (\vec{Ω} \cdot \vec{r})^{2} & = \sum_{l} Ω_{l}^{2} \sum_{n} r_{n}^{2} - \sum_{j} \sum_{k} Ω_{j} Ω_{k} r_{j} r_{k} \\ = \sum_{j} \sum_{k} Ω_{j} Ω_{k} ϵ_{j k} \sum_{n} r_{n}^{2} - \sum_{j} \sum_{k} Ω_{j} Ω_{k} r_{j} r_{k} \\ = \sum_{j} \sum_{k} Ω_{j} Ω_{k} (ϵ_{j k} \sum_{n} r_{n}^{2} - r_{j} r_{k}) \end{aligned}

$\epsilon_{jk}$ 为克罗内克符号。每个求和都是对三个分量求和。记张量

I_{j k}^{(i)} = m_{i} (ϵ_{j k} \sum_{n} r_{n}^{2} - r_{j} r_{k})

则有

T_{r o t}^{(i)} = \frac{1}{2} \vec{Ω} I^{(i)} {\vec{Ω}}^{T}

求和得

T_{r o t} = \frac{1}{2} \vec{Ω} \sum_{i} I^{(i)} {\vec{Ω}}^{T} = \frac{1}{2} \vec{Ω} I {\vec{Ω}}^{T}

$\mathbf{I}$ 即为刚体的惯量张量，展开写为

\begin{matrix} (6.8) & \begin{aligned} I & = {(\sum m (ϵ_{j k} \sum_{n} r_{n}^{2} - r_{j} r_{k}))}_{3 \times 3} \\ = (\begin{array}{ccc} \sum m (y^{2} + z^{2}) & - \sum m x y & - \sum m x z \\ - \sum m x y & \sum m (x^{2} + z^{2}) & - \sum m z y \\ - \sum m x z & - \sum m z y & \sum m (y^{2} + x^{2}) \end{array}) \end{aligned} \end{matrix}

$\mathbf{I}$ 是一个实对称阵，可以酉对角化为

\begin{matrix} I = (\begin{array}{ccc} I_{1} & 0 & 0 \\ 0 & I_{2} & 0 \\ 0 & 0 & I_{3} \end{array}) \end{matrix}

即选定合适的笛卡尔坐标系轴（这些轴被称为惯量主轴），可以得到如上的惯量张量。其中各分量被称为主转动惯量。

2.2 运动方程的惯量张量表示

角动量 $\vec M$

\begin{aligned} \vec{M} & = \sum \vec{r} \times \vec{p} \\ = \sum \vec{r} \times m (\vec{V} + \vec{Ω} \times \vec{r}) \\ = (\sum m \vec{r}) \times \vec{V} + \sum m \vec{r} \times (\vec{Ω} \times \vec{r}) \\ = \sum m \vec{r} \times (\vec{Ω} \times \vec{r}) \\ = \sum m (\vec{Ω} (\vec{r} \cdot \vec{r}) - \vec{r} (\vec{Ω} \cdot \vec{r})) \\ (6.9) & = (I {\vec{Ω}}^{T})^{T} \end{aligned}

运动方程也能写成

\begin{matrix} (6.10) & \frac{d}{d t} \vec{Ω} I = \sum \vec{r} \times \vec{f} \end{matrix}

这也可以通过拉格朗日方程得到：

L = T - U = \frac{1}{2} \vec{Ω} I {\vec{Ω}}^{T} - U

$\vec \varphi$ 为广义坐标

\begin{matrix} \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \vec{Ω}} = \frac{\partial L}{\partial \vec{φ}} \\ \Rightarrow \frac{d}{d t} \frac{\partial \frac{1}{2} \vec{Ω} I {\vec{Ω}}^{T}}{\partial \vec{Ω}} = - \frac{\partial U}{\partial \vec{φ}} \\ \Rightarrow \frac{d}{d t} \vec{Ω} I = - \frac{\partial U}{\partial \vec{φ}} \end{matrix}

这就是(6.10)和(6.5)结合成的运动方程。

3. 欧拉角、欧拉方程

$\phi,\psi,\theta$ $\overline{ON}$ $\#x_1Ox_2,\#xOy$ 的交线。

$\dot\theta, \dot\phi, \dot\psi$ $\dot\theta$ $\overrightarrow{ON}$ $x_1,x_2,x_3$ 的投影分别为：

\begin{matrix} {\dot{θ}}_{1} = \dot{θ} \cos ψ \\ {\dot{θ}}_{2} = - \dot{θ} \sin ψ \\ {\dot{θ}}_{3} = 0 \end{matrix}

$\dot\phi$ $z^+$ $x_3^+$ $x_3^+$ $\#x_3Oz$ $\#x_1Ox_2$ $ON$ ）分量。

\begin{matrix} {\dot{ϕ}}_{1} = \dot{ϕ} \sin θ \sin ψ \\ {\dot{ϕ}}_{2} = \dot{ϕ} \sin θ \cos ψ \\ {\dot{ϕ}}_{3} = \dot{ϕ} \cos θ \end{matrix}

$\dot\psi$ $x_3^+$ 方向。综上有

\begin{matrix} (6.11) & \begin{matrix} Ω_{1} = \dot{θ} \cos ψ + \dot{ϕ} \sin θ \sin ψ \\ Ω_{2} = - \dot{θ} \sin ψ + \dot{ϕ} \sin θ \cos ψ \\ Ω_{3} = \dot{ϕ} \cos θ + \dot{ψ} \end{matrix} \end{matrix}

$x_1,x_2,x_3$ $I_1,I_2,I_3$ 。固定系 $O$ $x_1x_2x_3$ 坐标系中表示，则有关系：

\begin{matrix} (6.12) & \frac{d \vec{A}}{d t} ≃ \frac{d^{'} \vec{A}}{d t} + \vec{Ω} \times \vec{A} \end{matrix}

$\simeq$ 是想说明，如果考虑矢量本身，两者是相等的，但如果写成坐标形式两者是坐标变换对应的。或者也可以写成如下更加明晰的形式：

\begin{matrix} (6.12’) & \begin{matrix} \frac{d A_{x}}{d t} \hat{i} + \frac{d A_{y}}{d t} \hat{j} + \frac{d A_{z}}{d t} \hat{k} \\ = \frac{d A_{1}}{d t} {\hat{x}}_{1} + \frac{d A_{2}}{d t} {\hat{x}}_{2} + \frac{d A_{3}}{d t} {\hat{x}}_{3} + \vec{Ω} \times \vec{A} \end{matrix} \end{matrix}

$\vec A=A_x\hat i+A_y\hat j+A_z\hat k=A_1 \hat x_1+A_2\hat x_2+A_3\hat x_3$ 。

$\vec A$ $O$ $xyz$ 中的。物理不换系，数学换系。

$\vec P$ $\vec M$ $\vec A$ ，代入(6.1)和(6.10)中，写成分量的形式，有：

\begin{matrix} (6.13) & \begin{matrix} μ (\frac{d V_{1}}{d t} + Ω_{2} V_{3} - Ω_{3} V_{2}) = F_{1} \\ . . . \\ I_{1} \frac{d Ω_{1}}{d t} + \frac{I_{3} - I_{2}}{I_{1}} Ω_{2} Ω_{3} = K_{1} \\ . . . \end{matrix} \end{matrix}

分量总共六条方程，此即为欧拉方程。

4. 刚体的接触

刚体之间的纯滚动，可能会形成非完全约束。这样的约束不能写成坐标满足的等式。

$(x,y)$ 只能有一部分（欧拉角的）位形能够满足。但显然一点上能够存在任意（欧拉角的）位形。

非完全约束的约束方程为：

\begin{matrix} (6.14) & \sum_{i} c_{α i} {\dot{q}}_{i} = 0 \end{matrix}

$c_{\alpha i}$ $q_1,...$ $\alpha$ 表示方程的编号。并且要求这些方程的不能写成某个函数对时间的全导数（否则积分后就变成完全约束了）。

为了解非完全约束的运动，回到最小作用量原理(1.2)：

0 = δ S = δ (\int_{t_{1}}^{t_{2}} L (q, \dot{q}, t) d t) = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum_{i} δ q_{i} (\frac{\partial L}{\partial q_{i}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) d t

$\delta t$ 得到

\begin{matrix} (6.14’) & \sum_{i} c_{α i} δ q_{i} = 0 \end{matrix}

类似于普通的拉格朗日乘子法

\begin{array}{r} \sum_{i} δ q_{i} (\frac{\partial L}{\partial q_{i}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) + \sum_{α} λ_{α} \sum_{i} c_{α i} δ q_{i} = 0 \\ (6.15) & \Rightarrow \frac{\partial L}{\partial q_{i}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} + \sum_{α} λ_{α} c_{α i} = 0 \end{array}

此即为非完全约束的运动方程。